Як ренесансна математика допомогла створити криптовалюту

Математика, що лежить в основі еліптичної кривої криптографії (ECC) — ключової технології безпеки Bitcoin та інших криптовалют, — бере початок у несподіваному місці: в мистецтві та геометрії італійського Відродження.

Джерело: scientificamerican.com

У 1415–1420 роках архітектор Філіппо Брунеллескі експериментував із законами перспективи у Флоренції, створюючи оптичну ілюзію глибини на площині. Його досліди змінили європейське мистецтво й започаткували нову математичну ідею: проєктивну геометрію — основу для подальших відкриттів.

Від перспективи до нескінченності

У XVII столітті французький математик Жерар Дезарг ввів поняття точок на нескінченності, які дозволили об’єднати євклідову і проєктивну геометрії. Пізніше цю теорію продовжили Блез Паскаль, Гаспар Монж та Жан-Віктор Понселе, який відтворив геометричні теорії під час полону в Росії під час Наполеонівської кампанії 1812 року.

Виникнення еліптичних кривих

У XIX столітті норвезький математик Нільс Абель вивчав еліптичні інтеграли, з яких пізніше були виведені еліптичні криві — ключовий математичний об’єкт у криптографії. Француз Еваріст Галуа створив теорію груп, яка дозволила математично оперувати точками на еліптичних кривих. А Август Мьобіус розробив гомогенні координати, які додали до графіків кривих "точку на нескінченності" — необхідну для роботи ECC.

Як працює шифрування

У еліптичній криптографії дві сторони домовляються про криву, обирають довільні точки (використовуючи власні "приватні ключі") та виконують додавання точок на графіку. Завдяки комутативності еліптичної групи обидві сторони врешті отримують однаковий результат, що й стає спільним секретом для шифрування.

ECC надає високий рівень безпеки при коротших ключах, ніж класичне RSA-шифрування. Наприклад, 256-бітний ECC-ключ еквівалентний 3072-бітному RSA.

Чому це важливо?

ECC використовується в криптовалютах, мобільних додатках, деяких браузерах і готується до впровадження в захист від квантових атак. Все це — завдяки математичним принципам, започаткованим ще 600 років тому у Флоренції.